Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 2 + 4 i \\ 2 - 4 i \\ 1 - 2 i \end{array}]$

Étape 1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$\sqrt{{| 2 + 4 i |}^{2} + {| 2 - 4 i |}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Utilisez la formule $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ pour déterminer la valeur absolue.

$\sqrt{{\sqrt{2^{2} + 4^{2}}}^{2} + {| 2 - 4 i |}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{4 + 4^{2}}}^{2} + {| 2 - 4 i |}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{4 + 16}}^{2} + {| 2 - 4 i |}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.4

Additionnez $4$ et $16$ .

$\sqrt{{\sqrt{20}}^{2} + {| 2 - 4 i |}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.5

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 2.5.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\sqrt{{\sqrt{4 (5)}}^{2} + {| 2 - 4 i |}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}^{2} + {| 2 - 4 i |}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} + {| 2 - 4 i |}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.7

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} + {| 2 - 4 i |}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.8

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} + {| 2 - 4 i |}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.9

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 2.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 2 - 4 i |}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 2 - 4 i |}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {| 2 - 4 i |}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {| 2 - 4 i |}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{4 \cdot 5^{1} + {| 2 - 4 i |}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.9.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{4 \cdot 5 + {| 2 - 4 i |}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.10

Multipliez $4$ par $5$ .

$\sqrt{20 + {| 2 - 4 i |}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.11

Utilisez la formule $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ pour déterminer la valeur absolue.

$\sqrt{20 + {\sqrt{2^{2} + {(- 4)}^{2}}}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.12

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{20 + {\sqrt{4 + {(- 4)}^{2}}}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.13

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{20 + {\sqrt{4 + 16}}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.14

Additionnez $4$ et $16$ .

$\sqrt{20 + {\sqrt{20}}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.15

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 2.15.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\sqrt{20 + {\sqrt{4 (5)}}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.15.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{20 + {\sqrt{2^{2} \cdot 5}}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.16

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt{20 + {(2 \sqrt{5})}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.17

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{20 + 2^{2} {\sqrt{5}}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.18

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{20 + 4 {\sqrt{5}}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.19

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 2.19.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{20 + 4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.19.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{20 + 4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.19.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{20 + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.19.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.19.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{20 + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.19.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{20 + 4 \cdot 5^{1} + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.19.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{20 + 4 \cdot 5 + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.20

Multipliez $4$ par $5$ .

$\sqrt{20 + 20 + {| 1 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.21

Utilisez la formule $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ pour déterminer la valeur absolue.

$\sqrt{20 + 20 + {\sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2}}}^{2}}$

Étape 2.22

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{20 + 20 + {\sqrt{1 + {(- 2)}^{2}}}^{2}}$

Étape 2.23

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{20 + 20 + {\sqrt{1 + 4}}^{2}}$

Étape 2.24

Additionnez $1$ et $4$ .

$\sqrt{20 + 20 + {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 2.25

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 2.25.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{20 + 20 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.25.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{20 + 20 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.25.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{20 + 20 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.25.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.25.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{20 + 20 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.25.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{20 + 20 + 5^{1}}$

Étape 2.25.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{20 + 20 + 5}$

Étape 2.26

Additionnez $20$ et $20$ .

$\sqrt{40 + 5}$

Étape 2.27

Additionnez $40$ et $5$ .

$\sqrt{45}$

Étape 2.28

Réécrivez $45$ comme $3^{2} \cdot 5$ .

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Étape 2.28.1

Factorisez $9$ à partir de $45$ .

$\sqrt{9 (5)}$

Étape 2.28.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2} \cdot 5}$

Étape 2.29

Extrayez les termes de sous le radical.

$3 \sqrt{5}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$3 \sqrt{5}$

Forme décimale :

$6.70820393 \dots$